Question

復數1+cosα+isinα（π＜α＜2π）的模為（　　）

• A．2cos

  α

  2

• B．-2cos

  α

  2

• C．2sin

  α

  2

• D．-2sin

  α

  2

Answer 1

分析：法一：把復數的代數形式利用二倍角公式及誘導公式化為復數的三角形式，通過三角形式求復數的模．
法二：化簡復數為a+bi的形式，利用復數的模的元素直接求解即可．

解答：解：法一：復數z=1+cosα+isinα=1+（2cos²

α

2

-1）+i•2sin

α

2

cos

α

2

=2cos

α

2

[cos

α

2

+isin

α

2

]
∵π＜α＜2π，∴

π

2

＜

α

2

＜π，cos

α

2

＜0，
∴|z|=|2cos

α

2

[cos

α

2

+isin

α

2

]|=2|cos

α

2

||[cos

α

2

+isin

α

2

]|
=-2cos

α

2

．
∴z=1+cosα+isinα（π＜α＜2π）的模為-2cos

α

2

．
法二：|z|=

(1+cosα)2+sin2α

=

2+2cosα

=

2+4cos α 2 -2

=

4cos α 2

=|2cos

α

2

|，
∵π＜α＜2π，∴

π

2

＜

α

2

＜π，cos

α

2

＜0，
∴|z|=-2cos

α

2

．
故選：B．

點評：本題考查復數的模的定義，利用三角公式及角的范圍、三角函數的符號來求復數的模．