Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其過點，其長軸的左右兩個端點分別為，直線交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線的斜率分別為，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為 ，且過點 ，列出方程組，求出 ，由此能求出橢圓方程；（2）聯立方程 ，得 ，由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程，結合已知條件能求出 的值.

試題解析：（1）由題意的，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）設，聯立方程 ，得，

所以判別式，

因為，

由題意知，所以,

因為，即，得，

又，所以，同理，

代入上式，解得，即，

所以，解得，

又因為，所以（舍去），所以.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程、韋達定理以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.