Question

【題目】設數列是各項均為正數的等比數列，其前項和為，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）設有正整數，使得成等差數列，求的值；

（3）設，對于給定的，求三個數經適當排序后能構成等差數列的充要條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）經適當排序后能構成等差數列的充要條件為

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件建立方程組，運用等比數列的性質求出求出等比，求得通項公式；（2）依據題設成等差數列，建立方程，得到，也即．由此推知中有且只有一個等于1，借助正整數滿足，從而推知，求出．

（3）按照題設要求將條件“經適當排序后能構成等差數列”分為三類進行分析推證：

解：（1）因為數列是各項均為正數的等比數列，所以設數列的公比為，且．

又，且，所以．

又因為，所以，解得，所以．

（2）因為成等差數列，所以，即．

所以， ．

故中有且只有一個等于1．

因為正整數滿足，所以，得．

（3）設經適當排序后能構成等差數列．

①若，則，當且僅當，當且僅當．

因為正整數滿足，當且僅當，且，

所以， ．當且僅當，即．

②若，則，所以（*）．

因為，

所以與都為偶數，而5是奇數，所以，等式（*）不成立，

從而等式不成立，

③若，則同②可知，該等式也不成立．

綜合①②③，得．

設，則為，即．

調整順序后易知成等差數列．

綜上所述， 經適當排序后能構成等差數列的充要條件為．