Question

【題目】已知函數，（，為自然對數的底數）．

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意在上總存在兩個不同的，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞減區間是；當時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是;（2）.

【解析】

試題分析: （1）首先求出函數的導數,然后根據導數的正負解出不等式得到函數的單調區間;(2)求出函數的導數,由的正負判斷函數的單調性并求出函數在上的值域,當時, 不合題意; 當時，判斷極值點與端點e的關系,分為時,不合題意;時,在上單調遞減，在上單調遞增,又在上恒成立, 欲使對任意的在上總存在兩個不同的，使成立，則需滿足，即.

試題解析:（1），.

1）當，；

2）當，令，；

綜上：當時，的單調遞減區間是；

當時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）∵，∴，

∴在內遞增，在內遞減.又∵，，，

∴函數在內的值域為.

由，得.

①當時，，在上單調遞減，不合題意；

②當時，令，則；令，則.

i）當，即時，在上單調遞減，不合題意；

ii）當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增.

令，，則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減；

∴，即在上恒成立.

令，則，設，，則，

∴在內單調遞減，在上單調遞增，

∴，即，∴，∴，即.

∴當時， ，

且在上連續.

欲使對任意的在上總存在兩個不同的，

使成立，則需滿足，即.

又∵，∴，

∴.綜上所述，.