Question

設．

（1）若，求最大值；

（2）已知正數，滿足.求證：；

（3）已知，正數滿足.證明:．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求函數的定義域，利用分式的求導法則求，令，分別求函數的增區間與減區間，可求得函數的極大值，從而求得函數的最大值；

（2）構造函數，利用導數法證明在在上遞增，在上遞減.由于函數的極大值為，時，

由,得出，

從而證明結論成立. 

（3）由數學歸納法證明.用數學歸納法證明的一般步驟是(1)證明當時命題成立；(2)假設當且時命題成立，證明當時命題成立. 由(1)，(2)可知，命題對一切正整數都成立. 一般的與正整數有關的等式、不等式可考慮用數學歸納法證明.

試題解析：（1），

時，，當時，，

即在上遞增，在遞減.故時，

有.                    4分

（2）構造函數，

則

易證在在上遞增，在上遞減.

時，有.

,即，

即證.                            8分

（3）利用數學歸納法證明如下：

當時，命題顯然成立；

假設當時，命題成立，即當時，

.

則當，即當時，

，

又假設

，

即

=.

這說明當時，命題也成立.

綜上①②知，當，正數滿足.                    14分

考點：導數法求函數的單調性、極值、最值，數學歸納法.