Question

已知二次函數f（x）=x²+（a+2）x+b滿足f（-1）=-2．
（1）若方程f（x）=2x有唯一解，求實數a，b的值；
（2）當x∈[-2，2]時，函數f（x）在頂點取得最小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

由f（-1）=-2得：1-a-2+b=-2，即a-b=1①，
（1）把f（x）的解析式代入f（x）=2x中，得到x²+ax+b=0，
因為方程由唯一的解，所以△=a²-4b=0②，
由①得：a=b+1，代入②得：（b-1）²=0，解得b=1，把b=2代入①解得：a=2；
（2）因為二次函數f（x）=x²+（a+2）x+b為開口向上的拋物線，且當x∈[-2，2]時，函數f（x）在頂點取得最小值，
所以對稱軸x=-

a+2

2

∈[-2，2]，即

- a+2 2 ≥-2① - a+2 2 ≤2②

，
由①解得：a≤2；由②解得a≥-6，所以不等式組的解集為-6≤x≤2．
故a的取值范圍是-6≤x≤2．