Question

【題目】已知橢圓C1： （a＞b＞0）的離心率為 ，P（﹣2，1）是C1上一點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設A，B，Q是P分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點C，D，點C關于原點的對稱點為E．證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得e= = ，且a2﹣b2=c2，

將P（﹣2，1）代入橢圓方程可得 =1，

解得a=2 ，b= ，c= ，

即有橢圓方程為

（2）解：證明：A，B，Q是P（﹣2，1）分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，

可設A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），

直線l的斜率為k= ，設直線l的方程為y= x+t，

代入橢圓x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，

設C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），

即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，

x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，

設直線PD，PE的斜率為k1，k2，

則k1+k2= + = ，

要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，

只需證k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，

由y1= x1+t，y2= x2+t，

可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4

=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，

則直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形

【解析】（1）運用橢圓的離心率公式和P滿足橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），設直線l的方程為y= x+t，代入橢圓方程，設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），E（﹣x1 ， ﹣y1），運用韋達定理，設直線PD，PE的斜率為k1 ， k2 ， 要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k1+k2=0，化簡整理，代入韋達定理，即可得證．