Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）設函數，試判斷函數是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）當時，寫出與的大小關系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）先利用導數求出切線的斜率，然后再求得切點坐標，最后寫出切線方程即可；

（Ⅱ）對a進行分類討論，利用導數研究函數的最值，當時，函數不存在最小值；當時，函數有最小值．

（Ⅲ）當時，與的大小關系等價于與的大小關系，

令，通過研究的單調性和極值，進而可得，從而可得結果.

（Ⅰ）當時，，，

所以，，因此，

又因為，所以切點為，

所以切線方程為；

（Ⅱ），，，

所以，

因為，所以；

（1）當，即時，

因為，所以，故，

此時函數在上單調遞增，

所以函數不存在最小值；

（2）當，即時，

令，因為，所以，

與在上的變化情況如下：

		0	+
	↘	極小值	↗

所以當時，有極小值，也是最小值，

并且，

綜上所述，

當時，函數不存在最小值；

當時，函數有最小值．

（Ⅲ）當時，與的大小關系等價于與的大小關系，

下面比較與的大小關系：

令，則，

當時，，當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，

故，即，故，所以.