Question

 （本小題共l4分）

已知函數，．

（Ⅰ）設函數F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的單調區間與極值；

（Ⅱ）設，解關于x的方程；

（Ⅲ）設，證明：．

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

當時．；當時，，

故當時，為增函數；當時，為減函數．

為的極大值點，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化為，

即為，且

①當時，，則，即，

，此時，∵，

此時方程僅有一解．

②當時，，由，得，，

若，則，方程有兩解；

若時，則，方程有一解；

若或，原方程無解．

方法二：原方程可化為，

即，

①當時，原方程有一解；

②當時，原方程有二解；

③當時，原方程有一解；

④當或時，原方程無解．

（Ⅲ）由已知得，

．

設數列的前n項和為，且（）

從而有，當時，．

又

．

即對任意時，有，又因為，所以．

則，故原不等式成立．