Question

【題目】己知函數，它的導函數為.

（1）當時，求的零點；

（2）若函數存在極小值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是的零點；（2）

【解析】

（1）求得時的，由單調性及求得結果.

（2）當時，，易得存在極小值點，再分當時和當時，令，通過研究的單調性及零點情況，得到的零點及分布的范圍，進而得到的極值情況，綜合可得結果.

（1）的定義域為，

當時，，.

易知為上的增函數，

又，所以是的零點.

（2），

① 當時，，令，得；令，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，符合題意.

令，則.

② 當時，，所以在上單調遞增.

又，，

所以在上恰有一個零點，且當時，；當時，，所以是的極小值點，符合題意.

③ 當時，令，得.

當）時，；當時，，

所以.

若，即當時，恒成立，

即在上單調遞增，無極值點，不符合題意.

若，即當時，，

所以，即在上恰有一個零點，且當時，；當時，，

所以是的極小值點，符合題意.

綜上，可知，即的取值范圍為.