Question

【題目】已知函數.

（1）證明：函數在上存在唯一的零點；

（2）若函數在區間上的最小值為1，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求解出導函數，分析導函數的單調性，再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；

（2）根據導函數零點，判斷出的單調性，從而可確定，利用以及的單調性，可確定出之間的關系，從而的值可求.

（1）證明：∵，∴.

∵在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

∴函數在上單調遞增.

又，令，，

則在上單調遞減，，故.

令，則

所以函數在上存在唯一的零點.

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函數在上單調遞增.

∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

∴.

由（*）式得.

∴，顯然是方程的解.

又∵是單調遞減函數，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求實數的值為.