Question

【題目】設函數f（x）=2lnx+ ． （Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果對所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ， 當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，
當x＞ 時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）單調遞增．
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≤axa≥ + ，
令h（x）= + ，（x≥1），
則h′（x）= = ，
令m（x）=x﹣xlnx﹣1，（x≥1），
則m′（x）=﹣lnx，
當x≥1時，m′（x）≤0，
于是m（x）在[1，+∞）上為減函數，
從而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，
于是h（x）在[1，+∞）上為減函數，
所以當x=1時h（x）有最大值h（1）=1，
故a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）先求導，利用導數和函數單調性的關系即可求出；（Ⅱ）分離參數，a≥ + ，構造函數h（x）= + ，求導，再構造函數m（x）=x﹣xlnx﹣1，利用導數求出函數的最大值，問題得以解決．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數單調性的性質(函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集)的相關知識才是答題的關鍵．