Question

【題目】已知函數y=f（x），若在定義域內存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數f（x）的局部對稱點．
（I）若a∈R且a≠0，求函數f（x）=ax2+x﹣a的“局部對稱點”；
（II）若函數f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+x﹣a，得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x），得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0，即ax2﹣a=0（a≠0），
∴x=±1，
∴函數f（x）=ax2+x﹣a的局部對稱點是±1；
（Ⅱ）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），
得4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0①在R上有解，
令t=2x+2﹣x ， （t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程①變為t2﹣2mt+2m2﹣8=0在區間[2，+∞）內有解，
令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由題意需滿足以下條件：
g（2）≤0或 ，
解得 或 ，
綜上
【解析】（Ⅰ）直接由奇函數的定義列式求得x值得答案；（Ⅱ）由f（﹣x）=﹣f（x），可得4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，令t=2x+2﹣x ， （t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，轉化為在區間[2，+∞）內有解，令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由題意需滿足以下條件：g（2）≤0或 ，求解得答案．
【考點精析】利用函數的定義域及其求法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．