Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域上的最大值為1，求實數的值；

（2）設函數，當時，對任意的恒成立，求滿足條件的實數的最小整數值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）先對函數求導，得到，分別討論，兩種情況，判定函數單調性，根據函數的最大值，即可求出結果；

（2）先由題意，將問題轉化為：得到，對任意的恒成立；

再由，轉化為：只需對任意的恒成立即可，令，用導數的方法求其最大值，即可得出結果.

（1）由題意，函數的定義域為，

當時，，在區間上單調遞增，

∴在定義域上無最大值．

當時，令，，

由，得，，，

的單調遞增區間為，的單調遞減區間為，

所以函數，

即為所求．

（2）由，因為對任意的恒成立，

即，當時，對任意的恒成立，

∵，．

∴，

只需對任意的恒成立即可．

構造函數，，

∵，∴，且單調遞增，

∵，，∴一定存在唯一的，使得

即，．∴單調遞增區間為，單調遞減區間為．

∴，

∴的最小整數值為．