Question

【題目】設函數的定義域為，其中，.

（1）若，判斷的單調性；

（2）當，設函數在區間上恰有一個零點，求正數a的取值范圍；

（3）當，時，證明：對于，有.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）見解析

【解析】

（1）由題意求導后，按照、分類，解出、的解集即可得解；

（2）對求導，令，求導后可得在上單調遞減，按照、，結合函數單調性、零點存在性定理即可得解；

（3）令，求導后可得對，恒有，依次取，求和即可得證.

（1）時，，，

則，

①當時，，在上單調遞增；

②當時，令，，（舍），

令，，，

∴函數的單調增區間為，單調減區間為；

綜上，當時，在上單調遞增；當時，函數的單調增區間為，單調減區間為；

（2）由題意，則，

令，，

∴在上單調遞減，∴，

①若，則即，即在上單調遞減，

∴，∴，不合題意；

②若，則，，

∴根椐零點存在性定理，使得，

即，使得，

當時，，在上單調遞增，且，

∴，函數無零點；

當時， ，在上單調遞減，

其中，

令，則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，

∴，

∴，

根據零點存在性定理可得時有且僅有一個零點，符合題意；

綜上：；

（3）當時，令，則

當時，恒有，即在上單調遞減，

∴對恒成立.

又，，故，

即對，恒有，

在此不等式中依次取，得：

，，，

，，

將以上不等式相加得：，即.