Question

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）這樣的直線不存在.詳見解析

【解析】

（1）設，，則，，且，通過，轉化求解即可．

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，代入橢圓方程整理得關于x的一元二次方程，假設存在點Q，滿足題意，則其充要條件為，則點Q的坐標為（x1+x2，y1+y2）．由此利用韋達定理結合點Q在曲線上，得到關于k的方程求解即可．

（1）設，，

則，，

由題意知，所以為中點，

由中點坐標公式得

，

即，

又點在圓：上，故滿足

，

得.

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，

設直線的方程為，

因為，故，即 ①，

聯立，

消去得：，

設，，

，，

，

因為為平行四邊形，故，

點在橢圓上，故，整理得，②，

將①代入②，得，該方程無解，

故這樣的直線不存在.