Question

【題目】對于定義域為的函數，如果存在區間，其中，同時滿足：

①在內是單調函數：②當定義域為時，的值域為，則稱函數是區間上的“保值函數”，區間稱為“保值函數”.

（1）求證：函數不是定義域上的“保值函數”；

（2）若函數（）是區間上的“保值函數”，求的取值范圍；

（3）對（2）中函數，若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據“保值函數”的定義分析即可（2）按“保值函數”定義知，，轉化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉化為不等式組，分離參數，利用函數最值解決恒成立問題.

（1）函數在時的值域為，不滿足“保值函數”的定義，

因此函數不是定義域上的“保值函數”.

（2）因為函數在內是單調增函數，

因此，，

因此是方程的兩個不相等的實根，

等價于方程有兩個不相等的實根.

由

解得或.

（3），

，

即為對恒成立.

令，易證在單調遞增，

同理在單調遞減.

因此，，

.

所以

解得.

又或，

所以的取值范圍是.