Question

【題目】已知函數，若同時滿足以下條件：

①在D上單調遞減或單調遞增；

②存在區間，使在 上的值域是，那么稱為閉函數．

（1）求閉函數符合條件②的區間 ；

（2）判斷函數是不是閉函數？若是請找出區間；若不是請說明理由；

（3）若是閉函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由在R上單減，列出方程組，即可求的值；

（2）由函數y=2x+lgx在（0，+∞）單調遞增可知 即，結合對數函數的單調性可判斷

（3）易知在[﹣2，+∞）上單調遞增．設滿足條件B的區間為[a，b]，則方程組 有解，方程至少有兩個不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個都不小于k的不根．結合二次方程的實根分布可求k的范圍

解：（1）∵在R上單減，所以區間[a，b]滿足，

解得a=﹣1，b=1

（2）∵函數y=2x+lgx在（0，+∞）單調遞增

假設存在滿足條件的區間[a，b]，a＜b，則，即

∴lgx=﹣x在（0，+∞）有兩個不同的實數根，但是結合對數函數的單調性可知，y=lgx與y=﹣x只有一個交點

故不存在滿足條件的區間[a，b]，函數y=2x+lgx是不是閉函數

（3）易知在[﹣2，+∞）上單調遞增．

設滿足條件B的區間為[a，b]，則方程組有解，方程至少有兩個不同的解

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個都不小于k的不根．

∴ 得，即所求．