Question

已知

   （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

   （Ⅱ）若在處有極值，求的單調遞增區間；

   （Ⅲ）是否存在實數，使在區間的最小值是3，若存在，求出的值；

        若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由已知得的定義域為，

     因為，所以           

    當時，，所以

    因為，所以         ……………………2分

        所以曲線在點處的切線方程為

        ，即            …………………………4分

        （Ⅱ）因為在處有極值，所以，

        由（Ⅰ）知，所以          

        經檢驗，時在處有極值．        …………………………6分

        所以，令解得；

        因為的定義域為，所以的解集為，

        即的單調遞增區間為.  …………………………………………8分

 

        （Ⅲ）假設存在實數，使（）有最小值3，

    ① 當時，因為，所以 ，

    所以在上單調遞減，

   ，，舍去.     …………………………10分              

    ②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

    ，，滿足條件. ………………………12分

    ③ 當時，因為，所以，

    所以在上單調遞減，，，舍去.

    綜上，存在實數，使得當時有最小值3. ……………14分

 

【解析】略