Question

【題目】已知函數，若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，圖象過點.

（1）求的表達式和的遞增區間；

（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象.若函數在區間上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），的遞增區間為，.（2）

【解析】

（1）由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數，相鄰兩條對稱軸的距離為，可得周期，從而得，再代入坐標得；

（2）由三角函數圖象變換得，題意轉化為的圖象與直線在上只有一個公共點，結合函數圖象易得結論．

（1），

的最小正周期為，∴.

∵的圖象過點，∴，∴，

即.

令，，，，

故的遞增區間為，.

（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象.

∵，∴，∴，故在區間上的值域為.

若函數在區間上有且只有一個零點，

即函數的圖象和直線只有一個公共點，

如圖，

根據圖象可知，或，即.

故實數的取值范圍是.