Question

【題目】四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點，平面平面，為上一點，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過線面平行，推證出點的位置，再結合面面垂直，推證出平面，即可由線面垂直推證面面垂直；

（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，由線面角求得長度，進而再由向量法求得二面角的大小即可.

（1）連交于，連，如下圖所示：

因為平面，平面，平面平面，

所以，又為中點，

所以為中點，由≌，

∴

∴為中點，

∵，且，則為平行四邊形，

∵

∴，又平面，

平面⊥平面，平面∩平面，

故⊥平面，又平面，

所以平面⊥平面.即證.

（2）連接，

∵，為AD的中點，∴，

又平面，平面⊥平面，平面∩平面，

∴底面，又，

以分別為軸建立空間直角坐標系.

設，取平面的法向量，

又，

∴

∴，

設平面EBF的法向量所以

即可得

令

設二面角的平面角為

∴，又為鈍角

∴ ，

所以二面角的余弦值為.