Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ax2+x，a∈R．
（1）若f（1）=0，求函數f（x）的最大值；
（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函數g（x）的單調區間；
（3）若a=﹣2，正實數x1 ， x2滿足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，證明x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（1）= ，所以a=2．

此時f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，

，

由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

故當x=1時函數有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=0．

（2）解： ，

所以 ．

當a≤0時，因為x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數，

當a＞0時， ，

令g′（x）=0，得 ．

所以當 時，g′（x）＞0；當 時，g′（x）＜0，

因此函數g（x）在 是增函數，在 是減函數．

綜上，當a≤0時，函數g（x）的遞增區間是（0，+∞），無遞減區間；

當a＞0時，函數g（x）的遞增區間是 ，遞減區間是 ．

（3）解：由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．

令t=x1x2，則由x1＞0，x2＞0得， ．t＞0

可知，φ（t）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增．

所以φ（t）≥φ（1）=1，

所以 ，解得 或 ．

又因為x1＞0，x2＞0，

因此 成立．

【解析】（1）先求出a的值，然后求原函數的極值即可；（2）求導數，然后通過研究不等式的解集確定原函數的單調性；（3）結合已知條件構造函數，然后結合函數單調性得到要證的結論．