Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面是梯形，且, 平面， 是中點， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若， ，求直線與平面所成角的大�。�

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）．

【解析】試題分析：（I）取的中點，連結，證得，從而證得平面，根據平行四邊形的性質，得，即可證明平面；（II）分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，求解出平面和向量，即可利用向量所成的角，得到直線與平面所成角的大�。�

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點，連結，如圖所示．

因為，所以．

因為平面， 平面，

所以．又因為，

所以平面．

因為點是中點，所以，且．

又因為，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．

（Ⅱ）解：設點O，G分別為AD，BC的中點，連結，則，

因為平面， 平面，所以，所以．

因為，由（Ⅰ）知， 又因為，

所以，所以

所以為正三角形，所以，

因為平面， 平面，

所以．

又因為，所以平面．

故兩兩垂直，可以點O為原點，分別以的方向為軸的正方向，

建立空間直角坐標系，如圖所示．

， ， ，

所以， ， ，

設平面的法向量，

則所以取，則，

設與平面所成的角為，則，

因為，所以，所以與平面所成角的大小為．