Question

【題目】定義在上的函數同時滿足以下條件：①在上為減函數，上是增函數；②是偶函數；③在處的切線與直線垂直.

（1）求函數的解析式；

（2）設，若對，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據條件①②③得到關于的方程組，從而解得的值，得到答案；（2）根據得到不等式，參變分離得到，設，則，利用導數得到的最大值，從而得到的范圍.

（1）函數，

則，

因為在上為減函數，上是增函數；

則是的極小值點，

所以，即

因為是偶函數，所以，

即，

得，

因為在處的切線與直線垂直，

所以在處的切線斜率為，

即，

所以得到，

所以.

（2），若對，使成立

得到對，恒成立，

即，對恒成立，

設，則，

，

設，

則，

，所以，

所以在單調遞減，即單調遞減，

所以，

所以在恒小于，即在上單調遞減

所以

所以，

故實數的取值范圍為