Question

【題目】設為實數，已知函數的導函數為，且.

（1）求的值；

（2）設為實數，若對于任意，不等式恒成立，且存在唯一的實數使得成立，求的值；

（3）是否存在負數，使得是曲線的切線.若存在，求出的所有值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出，再由，即可求出值；

（2）由（1）的結論將問題轉化為恒成立，設，即為，通過導數法求出，求出的取值范圍，再由唯一解，求出的值；

（3）設切點的橫坐標為，求出切線斜率，結合已知得，將切點坐標代入，整理得到關于的方程，轉化為關于的方程正數解的情況，即為與直線在第一象限交點情況，通過求導，求出單調區間，以及最值，即可求解.

（1）因為，

所以，

故.

（2）因為，

所以恒成立.

記，

則，

因為，且，

所以，

因此為時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以，即，

當時，，

故方程無解，

當時，當時，由單調性知

所以存在唯一的使得，即.

（3）設切點的橫坐標為，則

，即，

，即

原命題等價于存在正數使得方程成立.

記，

則，

令，則，

因此當時，，單調遞增，；

當時，，單調遞減，，

則.

故存在唯一的正數使得方程成立，

即存在唯一的負數，

使得是曲線的切線.