Question

從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數t．
（1）把鐵盒的容積V表示為x的函數，并指出其定義域；
（2）x為何值時，容積V有最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中從邊長2a的正方形鐵片的四個角各截一個邊長為x的正方形，根據長方體的體積公式，易得到V的表達式．
（2）求體積最大值的問題，由題意解出v的表達式，對函數v進行求導，解出極值點，然后根據極值點來確定函數v的單調區間，因極值點是關于a，t的表達式，此時就需要討論函數v的單調性，分別代入求出最大值，從而求解．

解答：解：由題意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x＞0 2a-2x＞0 x 2a-2x ≤t

∴0＜x≤

2at

1+2t

∴函數V（x）=4（a-x）²•x的定義域為 (0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=

a

3

（1）當

a

3

≤

2at

1+2t

，即 t≥

1

4

時，
∵0＜x＜

a

3

時，V′＞0．
V（x）為增函數；

a

3

＜x≤

2at

1+2t

時，V′＜0．V（x）為減函數；
∴V（x）在 (0，

2at

1+2t

]上有極大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

為唯一駐點，
∴當 x=

a

3

時，V有最大值

16

27

a3．
（2）當

a

3

＞

2at

1+2t

，即 0＜t＜

1

4

時，
∵0＜x＜

2at

1+2t

時，V′＞0恒成立；
∴V（x）為增函數；
∴當 x=

2at

1+2t

時，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．

點評：此題是一道應用題，主要還是考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．