Question

【題目】如圖，在棱長為的正方體中，，分別在棱，上，且.

（1）已知為棱上一點，且，求證：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過M作MT⊥AA1于點T，連B1T，則A1T=1．推導出△AA1E≌△A1B1T，∠AA1E=∠A1B1T．推導出A1E⊥B1T．從而MT⊥面AA1B1B，進而MT⊥A1E，A1E⊥面MTB，A1E⊥MB1．連B1D1，則B1D1⊥A1C1．又D1M⊥A1C1，從而A1C1⊥面MD1B1，A1C1⊥MB1．由A1E⊥MB1，A1C1⊥MB1，能證明B1M⊥面A1EC1．

（2）在D1C1上取一點N，使ND1=1，連接EF．則．=．由余弦定理可知cos∠EA1C1．求出△A1EC1的面積，由等體積法可知F到平面A1EC1之距離h滿足，求出，由此能求出直線FC1與平面A1EC1所成角的正弦值．

（1）過作于點，連，則.易證：，于是.由，知，∴.顯然面，而面，∴，又，∴面，∴.連，則.

又，，∴面，∴.由，，，∴面.

（2）在上取一點，使，連接.易知.∴

.對于，，，而，

由余弦定理可知.∴的面積 .由等體積法可知到平面之距離滿足，則，∴，又，設與平面所成角為，∴.