Question

【題目】已知函數，

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）若且，設是函數的零點.

（i）證明：時存在唯一且；

（ii）若，記，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) （i）證明見解析.(2)（ii）證明見解析.

【解析】

(1)對求導，分析導函數的正負得單調區間；

(2) （i）根據(1)得函數的單調性，判斷端點的函數的正負可得證；

(2) （ii）運用數列的裂項相消求和和不等式放縮技巧得證.

(1)由已知得,

當時，，所以在上單調遞增；

當時，，，

，

所以在和單調遞減，

在單調遞增.

綜上可得：

當時，在上單調遞增；

當時，在和單調遞減，

在單調遞增.

(2) （i）由(1)知：，在上單調遞增；且，

所以在存在唯一的零點，

而，

且時，，

所以：時存在唯一且，

故得證.

(2) （ii）當時，，所以

所以，

所以，

又因為，

所以，

所以，所以，又

所以

所以，

故得證.