Question

【題目】如圖，設拋物線C1:的準線1與x軸交于橢圓C2：的右焦點F2，F1為C2的左焦點.橢圓的離心率為，拋物線C1與橢圓C2交于x軸上方一點P，連接PF1并延長其交C1于點Q，M為C1上一動點，且在P，Q之間移動.

（1）當取最小值時，求C1和C2的方程；

（2）若△PF1F2的邊長恰好是三個連續的自然數，當△MPQ面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線MP的方程.

Answer 1

【答案】（1）,；

（2）面積最大值為，此時.

【解析】

（1）由題意，和，得到，，根據取最小值時，即可求得拋物線和橢圓的方程；

（2）用表示出橢圓的方程，聯立方程組得出點的坐標，計算出的三邊關于的式子，從而確定實數的值，求出得距離和到直線的距離，利用二次函數的性質，求得面積取最大值，即可求解．

（1）由題意，拋物線的準線方程為，

橢圓的右焦點，所以，

又由，則，，所以取最小值時，

所以拋物線C1:，

又由，，所以橢圓C2的方程為．

（2）因為，，則，，

設橢圓的標準方程為，，

聯立方程組，得，

所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，于是，，，

又的邊長恰好是三個連續的自然數，所以，

此時拋物線方程為，，，

則直線PQ的方很為，聯立，得或（舍去），于是.所以，

設到直線的距離為，則，

當時，，

所以的面積最大值為，

此時MP：.