Question

【題目】在三棱柱中，，側面底面，D是棱的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接與交于點，連接，根據題意可證四邊形是平行四邊形，即.根據側面底面，可得平面，根據面面垂直的判定定理，即可得證。

（2）分別以分別為軸正方向建系，求出各點坐標及平面和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可。

解：（1）取的中點，連接與交于點，連接.

則為的中點，

因為三棱柱，

所以，且，

所以四邊形是平行四邊形.

又是棱的中點，所以.

因為側面底面，且，

所以平面

所以平面

又平面，

所以平面平面

（2）連接，因為，所以是等邊三角形，故底面。

設，可得，

分別以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，

則

設平面的一個法向量為

則

所以，取

所以

又平面的一個法向量為

故

因為二面角為鈍角，所以其余弦值為.