Question

【題目】如圖所示，在長方體中，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點F，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②對于棱上任意一點E，在棱上均有相應的點G，使得平面；

③O為底面對角線和的交點，在棱上存在點H，使平面；

④存在唯一的點E，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中為真命題的是____________________.（填寫所有正確答案的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①將四棱錐轉化為2個,進而求解判斷即可；②找到反例即可；③利用中位線證明即可；④將四邊形的周長的最值轉化為的最值,進而求解即可

①,

又三棱錐為三棱錐,則底面不變,且因為平面,故點到底面的距離即三棱錐底面的高不變,故三棱錐的體積不變,所以四棱錐的體積不變,恒為定值,故①正確；

②當點在點處時,總有與平面相交,故②錯誤；

③由O為底面對角線和的交點,則,設為的中點,則在中,所以平面,故③正確；

④四邊形的周長為,則分析即可,將矩形沿著展開使得在延長線上時,此時的位置設為,則線段與的交點即為截面平行四邊形的周長取得最小值時唯一點,故④正確；

故答案為:①③④