Question

已知函數．
（Ⅰ）求證：f（x）的圖象關于點成中心對稱；
（Ⅱ）若；
（Ⅲ）已知，數列{a_n}的前n項和為T_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

證明：（Ⅰ）在函數f（x）圖象上任取一點M（x，y），M關于的對稱點為N（x₁，y₁），
∴，∴①．
∵f（x）=，即②．
將①代入②得，=，
∴，∴N（x₁，y₁）也在f（x）圖象上，∴f（x）圖象關于點成中心對稱．
（直接證f（x）+f（1-x）=1得f（x）圖象關于點成中心對稱，也可給分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時，③，④
③+④得2S_n=n-1，∴．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當n≥2時，=，
∴當n≥2時，=；
∵當n=1時，也適合上式，∴．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得，，∴，即．
令，則=，
又∵n∈N^*，∴，
∴當時，即n=2時，最大，它的最大值是，∴．（14分）
分析：（I）證明函數的圖象關于點M成中心對稱，只需在圖象上任取一點A，求出其關于中心的對稱點A′的坐標，代入函數解析式也成立，即可證明成中心對稱．利用以下結論：若f（x）+f（1-x）=1，則f（x）圖象關于點成中心對稱也可證明．
（II）利用（I）的結論可知f（x）+f（1-x）=1，因此運用倒序相加法的思想方法很容易解答本題．
（III）由（II）知，因此求得a_n，利用裂項相消法可以求得{a_n}的前n項和為T_n，于是由T_n＜λ（S_n+1+1）得到 λ與n的關系式進一步利用函數與方程的思想轉化為求函數的最值問題，可解得λ 的取值范圍．
點評：本題考查了數列與函數、函數的圖象、不等式等綜合內容，函數圖象成中心對稱的有關知識，考查相關方法，考查了數列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項相消法求數列前n項的和，利用函數與方程的思想，轉化與化歸思想解答熱點問題--有關恒成立問題．