Question

【題目】設f（x）=xex（e為自然對數的底數），g（x）=（x+1）2 ．
（I）記 ，討論函F（x）單調性；
（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數G（x）有兩個零點．
（i）求參數a的取值范圍；
（ii）設x1 ， x2是G（x）的兩個零點，證明x1+x2+2＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F（x）= = ，（x≠﹣1）， F′（x）= = ，
∴x∈（﹣∞，﹣1）時，F′（x）＜0，F（x）遞減，
x∈（﹣1，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）遞增；
（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2 ，
G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），
（i）①a=0時，G（x）=（x+1）2 ， 有唯一零點﹣1，
②a＞0時，aex+2＞0，
∴x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，
x∈（﹣1，+∞）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，
∴G（x）極小值=G（﹣1）=﹣ ＜0，
∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）時，G（x）有唯一零點，
x＜﹣1時，ax＜0，則ex＜ ，∴axex＞ ，
∴G（x）＞ +（x+1）2=x2+（2+ ）x+1，
∵△= ﹣4×1×1= + ＞0，
∴t1 ， t2 ， 且t1＜t2 ， 當x∈（﹣∞，t1），（t2 ， +∞）時，
使得x2+（2+ ）x+1＞0，
取x0∈（﹣∞，﹣1），則G（x0）＞0，則x∈（﹣∞，﹣1）時，G（x）有唯一零點，
即a＞0時，函數G（x）有2個零點；
③a＜0時，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），
由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣ ），
若﹣1=ln（﹣ ），即a=﹣2e時，G′（x）≤0，G（x）遞減，至多1個零點；
若﹣1＞ln（﹣ ），即a＜﹣2e時，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣ ）），
注意到y=x+1，y=ex+ 都是增函數，
∴x∈（﹣∞，ln（﹣ ））時，G′（x）＜0，G（x）是減函數，
x∈（ln（﹣ ），﹣1）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，
x∈（﹣1，+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，
∵G（x）極小值=G（ln（﹣ ））=ln2（﹣ ）+1＞0，
∴G（x）至多1個零點；
若﹣1＜ln（﹣ ），即a＞﹣2e時，
x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）是減函數，
x∈（﹣1，ln（﹣ ））時，G′（x）＞0，G（x）遞增，
x∈（ln（﹣ ），+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，
∵G（x）極小值=G（﹣1）=﹣ ＞0，
∴G（x）至多1個零點；
綜上，若函數G（x）有2個零點，
則參數a的范圍是（0，+∞）；
（ii）由（i）得：函數G（x）有2個零點，則參數a的范圍是（0，+∞），
x1 ， x2是G（x）的兩個零點，則有：
，即 ，即 = =﹣ ，
∵F（x）= ，則F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2 ，
由（Ⅰ）知，當x∈（﹣∞，﹣1）時，F（x）是減函數，x∈（﹣1，+∞）時，F（x）是增函數，
令m＞0，F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）= （ e2m+1），
再令φ（m）= e2m+1=e2m﹣ ﹣1，
則φ′（m）= ＞0，
∴φ（m）＞φ（0）=0，又 ＞0，
m＞0時，F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）＞0恒成立，
即F（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立，
令m=﹣1﹣x1＞0，即x1＜﹣1，有F（﹣1+（﹣1﹣x1））＞F（﹣1﹣（﹣1﹣x1）），
即F（﹣2﹣x1）＞F（x1）=F（x2），
∵x1＜﹣1，∴﹣2﹣x1＞﹣1，又F（x1）=F（x2），必有x2＞﹣1，
當x∈（﹣1，+∞）時，F（x）是增函數，
∴﹣2﹣x1＞x2 ，
即x1+x2+2＜0．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）（i）求出函數的導數，通過討論a的范圍，根據函數的零點的個數，求出a的范圍即可；（ii）根據a的范圍，得到 = =﹣ ，令m＞0，得到F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）= （ e2m+1），再令φ（m）= e2m+1，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．