【題目】已知拋物線
過點
（1）求拋物線
的方程，并求其焦點坐標與準線方程；
（2）直線
與拋物線交于不同的兩點
，
過點作
軸的垂線分別與直線
，
交于
，
兩點，其中
為坐標原點.若為線段
的中點，求證：直線恒過定點.
【答案】（1）拋物線
的方程為
，其焦點坐標為
，準線方程為
（2）證明見解析；
【解析】
(1) 點
代入求得
，即可的拋物線方程求得結果.
(2) 由題意知直線
斜率存在且不為零，設直線方程為
，與拋物線方程聯立，設
，
，根據已知由
:
， 
:
，及過點
作
軸的垂線求得
的坐標，根據
為線段
的中點，借助韋達定理化簡即可證得結論.
解：（1）由拋物線
過點，
得
，所以拋物線的方程為，
其焦點坐標為，準線方程為.
（2）由題意知直線斜率存在且不為零，設直線方程為，直線與拋物線的交點為，.
由
得
，
由韋達定理，得
，
.
由已知得直線的方程為，所以
，
由已知得直線方程為，所以
.
因為是線段的中點，所以
①，
將
，
，代入①式，并化簡得
，
把，代入②式，化簡得
所以直線的方程為
，故直線恒過定點
.
鴻圖圖書寒假作業假期作業吉林大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線
平面
，E，F分別是
，
的中點.
（1）記平面
與平面的交線為l，試判斷直線l與平面
的位置關系，并加以證明；
（2）設
，求二面角
大小的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
，
．以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，點
為上的動點，
為
的中點．
（1）請求出點軌跡
的直角坐標方程；
（2）設點
的極坐標為
若直線
經過點且與曲線交于點
，弦
的中點為
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正六棱錐
中，底面邊長和側棱分別是2和4，
，
分別是
和
的中點，給出下面三個判斷：（1）
和所成的角的余弦值為
；（2）
和底面所成的角是
；（3）平面
平面
；其中判斷正確的個數是（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓方程為
．
（1）設橢圓的左右焦點分別為
、
，點
在橢圓上運動，求
的值；
（2）設直線
和圓
相切，和橢圓交于
、
兩點，
為原點，線段
、
分別和圓交于
、
兩點，設
、
的面積分別為
、
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著生活水平的逐步提高，人們對文娛活動的需求與日俱增，其中觀看電視就是一種老少皆宜的娛樂活動．但是我們在觀看電視娛樂身心的同時，也要注意把握好觀看時間，近期研究顯示，一項久坐的生活指標——看電視時間，是導致視力下降的重要因素，即看電視時間越長，視力下降的風險越大．研究者在某小區統計了每天看電視時間
（單位：小時）與視力下降人數
的相關數據如下：
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| 12 | 16 | 22 | 24 | 26 |
（1）請根據上面的數據求關于的線性回歸方程
（2）我們用（1）問求出的線性回歸方程
的
估計回歸方程
，由于隨機誤差
，所以
是
的估計值，
成為點（
，
）的殘差．
①填寫下面的殘差表，并繪制殘差圖；
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| 12 | 16 | 22 | 24 | 26 |
|
②若殘差圖所在帶狀區域寬度不超過4，我們則認為該模型擬合精度比較高，回歸方程的預報精度較高，試根據①繪制的殘差圖分折該模型擬合精度是否比較高？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】農歷五月初五是端午節，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱粽子，古稱“角黍”，是端午節大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰國時期的楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為2的正三角形組成的，將它沿虛線對折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為______________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓周率π是數學中一個非常重要的數，歷史上許多中外數學家利用各種辦法對π進行了估算.現利用下列實驗我們也可對圓周率進行估算.假設某校共有學生N人，讓每人隨機寫出一對小于1的正實數a，b，再統計出a，b，1能構造銳角三角形的人數M，利用所學的有關知識，則可估計出π的值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某地區打算在一塊矩形地塊上修建一個牧場（ABCDEF圍成的封閉區域）用來養殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（單位：百米），DEF是一段曲線形馬路.該牧場的核心區為等腰直角三角形MPQ所示區域，該區域用來養殖羊，其余區域養殖牛，且MP=PQ，牧場大門位于馬路DEF上的M處，一個觀察點P位于AB的中點處，為了能夠更好觀察動物的生活情況，現決定修建一條觀察通道，起點位于距離觀察點P處1百米的O點所示位置，終點位于Q處.如圖2所示，建立平面直角坐標系，若
滿足
.
（1）求
的解析式；
（2）求觀察通道OQ長度的最小值.
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