Question

【題目】設二階方矩陣，則矩陣所對應的矩陣變換為：，其意義是把點變換為點，矩陣叫做變換矩陣.

（1）當變換矩陣時，點、經矩陣變換后得到點分別是、，求經過點、的直線的點方向式方程；

（2）當變換矩陣時，若直線上的任意點經矩陣變換后得到的點仍在該直線上，求直線的方程；

（3）若點經過矩陣變換后得到點，且與關于直線對稱，求變換矩陣.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）由給出的變換矩陣定義求出、的坐標，進而求出直線的方向向量，求出點向式方程；

（2）設直線方程為：：，求出其上點關于矩陣變換后的點也滿足直線的方程，再根據兩直線重合的條件：斜率相等，截距相同即可求出直線方程；

（3）因為點經過矩陣變換后得到點，且與關于直線對稱，所以有：

，解之得： ，再根據，得出即可.

（1）由題意得：，即，解之得： ，所以；

，即，解之得： ，所以，

則，

所以方程為 ，即；

（2），即 ，

設：（不全為），

：，即，

由題知，與重合得，

所以或，

，得，

，得或，即，；

（3）因為與關于直線對稱，所以有：

，解之得： ，

故，所以.