Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點的動圓恒與軸相切，為該圓的直徑，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的任意直線與曲線交于點，為的中點，過點作軸的平行線交曲線于點，關于點的對稱點為，除以外，直線與是否有其它公共點？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）沒有其他公共點，證明見解析

【解析】

（1）如圖所示：作軸于，直線于，軸于，計算得到，根據拋物線定義得到答案.

（2）在拋物線上，設，得到直線：，聯立方程得到答案.

（1）如圖所示：作軸于，直線于，軸于，

設圓半徑為，在梯形中，為中位線，故，故.

故，，即，根據拋物線定義知：.

（2）沒有其他公共點.在拋物線上，設，故.

故當時，，故，

故，即.

，（），直線：.

，故，故方程有唯一解，故沒有其他公共點.

當時驗證知，為軸，也沒有其他公共點.

綜上所述：沒有其他公共點.