Question

【題目】設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，

【解析】

（1）由，可得，故設橢圓方程為，可得點在橢圓上，即可求出參數的值，從而得到橢圓方程；

（2）當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，

可得．當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，由圓心到直線的距離等于半徑可得，聯立直線與橢圓方程，消去，列出韋達定理，即可表示出，代入計算可得，即可得到，最后由三角形相似計算出的值即可；

解：（1）由橢圓的離心率為，，，

橢圓的方程可設為，

易求得，且圓在點處的切線方程為，點在橢圓上，，解得，橢圓的方程為．

（2）當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，

由（1）知，，，，．

當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，

，即．

聯立直線和橢圓的方程得:，

，，．

，

．綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，都有．

在中，由得，為定值．