Question

【題目】設函數
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）若 ，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解： =2cos2x+ sin2x

= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1

令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

因此，函數f（x）的單調減區間是[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：當 時，2x+ ∈[﹣ ， ]．

∴2sin（2x+ ）∈[﹣ ， ]，得y=2sin（2x+ ）+1∈[﹣ +1，2]

即函數f（x）在區間 的值域是[﹣ +1，2]

【解析】（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合二倍角的三角公式化簡整理，得f（x）═2sin（2x+ ）+1．再根據正弦函數的單調區間的公式，解不等式可得函數f（x）的單調減區間；（2）根據 易得2x+ ∈[﹣ ， ]．結合正弦函數的圖象與性質，得2sin（2x+ ）∈[﹣ ， ]，由此不難得到函數f（x）在區間 的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：．