Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若，求函數在的單調區間；

（Ⅱ）方程有3個不同的實根，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，若對于任意的，都存在，使得，求滿足條件的正整數的取值的集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調增區間為， 的單調減區間為

; （Ⅱ）當時，方程有三個不同的解，1， ; （Ⅲ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在時， ，求出導數，由不等式得增區間，由不等式得減區間；

（Ⅱ）方程，即為，有一根為，然后有或，這可根據的正負分類討論確定；

（Ⅲ）當， 時， ，由導數得出函數在上是增函數，這樣可得當時， ，當時， ，此時，因此只要，由此求出的范圍，

而這還需用導數研究相應函數的單調性，才能得出結論．

試題解析：

（Ⅰ）當， 時， ，

從而 ，

，

的單調增區間為， 的單調減區間為

（Ⅱ）方程，即，即

所以當時，方程有兩個不同的解， ；

當時，方程有三個不同的解，1， ；

當時，方程有兩個不同的解，1.

綜上，當時，方程有三個不同的解，1，

（Ⅲ）當， 時， ， ，

所以函數在上是增函數，

且 .

所以當時， ，

當時，

所以，

因為對任意的，都存在，使得，

從而，

所以，即，即（）

因為為單調遞增，

且滿足，而，不滿足題意，所以時，均不滿足題意，

所以滿足條件的正整數的取值的集合為.