【題目】已知函數
，曲線
在點
處的切線與
軸交點的橫坐標為
.
（1）求
；
（2）證明：當
時，曲線
與直線
只有一個交點.
【答案】（1）
；（2）詳見解析．
【解析】試題分析：（1）
，由導數的幾何意義得
，故切線方程為
，將點
代入求
；（2）曲線
與直線
只有一個交點轉化為函數
有且只有零點．一般思路往往利用導數求函數的單調區間和極值點，從而判斷函數大致圖象，再說明與
軸只有一個交點．本題首先入手點為
，當
時， 
，且
， 
，所以
在
有唯一實根．只需說明當
時無根即可，因為
，故只需說明
，進而轉化為求函數
的最小值問題處理．
（1）
， 
．曲線
在點
處的切線方程為
．由題設得， 
，所以
．
（2）由（1）得， 
．設
．由題設得
．當
時， 
， 
單調遞增， 
， 
，所以
在
有唯一實根．當
時，令
，則
． 
， 
在
單調遞減；在
單調遞增．所以
．所以
在
沒有實根，綜上， 
在
上有唯一實根，即曲線
與直線
只有一個交點．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，與直角坐標系
取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）化曲線
的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）設曲線
與
軸的一個交點的坐標為
，經過點
作斜率為1的直線， 
交曲線
于
兩點，求線段
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】環境監測中心監測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數(指數采取10分制，保留一位小數)，現隨機抽取20天的指數(見下表)，將指數不低于
視為當天空氣質量優良.
天數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質量指數 |
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天數 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質量指數 |
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(1)求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優良的概率；
(2)以這20天的數據估計我市總體空氣質量(天數很多)，若從我市總體空氣質量指數中隨機抽取3天的指數，用
表示抽到空氣質量為優良的天數，求
的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
和
的項數均為
，則將數列
和
的距離定義為
.
（1）求數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離.
（2）記
為滿足遞推關系
的所有數列
的集合，數列
和
為
中的兩個元素，且項數均為
.若
， 
，數列
和
的距離小于2016，求
的最大值.
（3）記
是所有7項數列
（其中
， 
或
）的集合， 
，且
中的任何兩個元素的距離大于或等于3.求證： 
中的元素個數小于或等于16.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經國務院批復同意，重慶成功入圍國家中心城市，某校學生社團針對“重慶的發展環境”對20名學生進行問卷調查打分（滿分100分），得到如圖所示莖葉圖：
（Ⅰ）計算女生打分的平均分，并用莖葉圖的數字特征評價男生、女生打分誰更分散；
（Ⅱ）如圖按照打分區間
、
、
、
、
繪制的直方圖中，求最高矩形的高
；
（Ⅲ）從打分在70分以下（不含70分）的同學中抽取3人，求有女生被抽中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點與拋物線
的焦點
重合，且點
到直線
的距離為
， 
與
的公共弦長為
.
（1）求橢圓
的方程及點
的坐標；
（2）過點
的直線
與
交于
兩點，與
交于
兩點，求
的取值范圍.
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