Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在處的切線方程為，求和的值；

（Ⅱ）討論方程的解的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ， ；（2）當時，方程無解；當或時，方程有唯一解；當時，方程有兩解.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出導函數，利用在處的切線方程為,列出方程組求解;（Ⅱ）通過 ,判斷方程的解出函數的導數判斷函數的單調性，求出極小值，分析出當 時，方程無解；當或時，方程有唯一解；當時，方程有兩解.

試題解析：（Ⅰ）因為，又在處得切線方程為，

所以，解得.

（Ⅱ）當時， 在定義域內恒大于0，此時方程無解.

當時， 在區間內恒成立，

所以為定義域為增函數，因為，

所以方程有唯一解.

當時， .

當時， ， 在區間內為減函數，

當時， ， 在區間內為增函數，

所以當時，取得最小值.

當時， ，無方程解；

當時， ，方程有唯一解.

當時， ，

因為，且，所以方程在區間內有唯一解，

當時，設，所以在區間內為增函數，

又，所以，即，故.

因為，所以.

所以方程在區間內有唯一解，所以方程在區間內有兩解，

綜上所述，當時，方程無解.