Question

【題目】定義在上的函數滿足對任意，成立，當時,，則在內，函數的所有零點之和為________

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題中的條件得到函數的解析式為：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，分類討論在[1，2018]內，函數的各個零點的值，可得答案．

解：因為對任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，

且當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x，

所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．

當x∈（，1]時，由函數1＝0得：x[1，2018]；

當x∈（1，2]時，由函數2＝0得：x∈[1，2018]；

當x∈（2，4]時，由函數4＝0得：x＝3∈[1，2018]；

當x∈（4，8]時，由函數8＝0得：x＝6∈[1，2018]；

當x∈（8，16]時，由函數16＝0得：x＝12∈[1，2018]；

當x∈（16，32]時，由函數32＝0得：x＝24∈[1，2018]；

當x∈（32，64]時，由函數64＝0得：x＝48∈[1，2018]；

當x∈（64，128]時，由函數128＝0得：x＝96∈[1，2018]；

當x∈（128，256]時，由函數256＝0得：x＝192∈[1，2018]；

當x∈（256，512]時，由函數512＝0得：x＝384∈[1，2018]；

當x∈（512，1024]時，由函數1024＝0得：x＝768∈[1，2018]；

當x∈（1024，2048]時，由函數2048＝0得：x＝1536∈[1，2018]；

故函數的所有零點之和為3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536＝3070.5

故答案為：3070.5