Question

【題目】已知曲線（為常數）.

（i）給出下列結論：

①曲線為中心對稱圖形；

②曲線為軸對稱圖形；

③當時，若點在曲線上，則或.

其中，所有正確結論的序號是_________.

（ii）當時，若曲線所圍成的區域的面積小于，則的值可以是_________.（寫出一個即可）

Answer 1

【答案】①②③ 均可

【解析】

（i）在曲線上任取一點，將點、、代入曲線的方程，可判斷出命題①②的正誤，利用反證法和不等式的性質可判斷出命題③的正誤；

（ii）根據時，配方得出，可知此時曲線為圓，且圓的面積為，從而得知當時，曲線所表示的圖形面積小于.

（i）在曲線上任取一點，則，

將點代入曲線的方程可得，

同理可知，點、都在曲線上，則曲線關于原點和坐標軸對稱，命題①②正確.

當時，，反設且，

則，，所以，，則，

所以，，這與矛盾.

假設不成立，所以，或，命題③正確；

（ii）當時，曲線的方程為，即，即，

此時，曲線表示半徑為的圓，其面積為.

當時，且當時，在圓上任取一點，則，則點在曲線外，所以，曲線的面積小于圓的面積.

故答案為：①②③；均可.