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【題目】在平面直角坐標系中，的頂點，，且、、成等差數列.

（1）求的頂點的軌跡方程；

（2）直線與頂點的軌跡交于兩點，當線段的中點落在直線上時，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

【答案】（1）（2）恒過定點；定點

【解析】

（1）由正弦定理，結合橢圓定義，即可容易求得軌跡方程；

（2）聯立直線方程和橢圓方程，由韋達定理求得中點的坐標，根據其縱坐標為，即可求得的等量關系，再求出直線垂直平分線的方程，再求直線恒過的定點即可.

（1）在中，，

根據正弦定理，可得，且，

由橢圓定義，可知頂點的軌跡為中心在原點，

以為焦點的橢圓（不包括與軸交點）.

，，，

軌跡方程為.

（2）設，，

由，得，

，

，，

點落在直線上，

，，

，，

線段的垂直平分線方程為，即，

線段的垂直平分線恒過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數的莖葉圖如圖，則下面結論中錯誤的一個是(　　)

A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數是24

C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數是21

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點．

（1）證明：平面；

（2）設E為BC的中點，線段上是否存在一點Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，在寬為的路邊安裝路燈，燈柱高為，燈桿是半徑為的圓的一段劣�。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂到路面的距離為，到燈柱所在直線的距離為．設為燈罩軸線與路面的交點，圓心在線段上．

（1）當為何值時，點恰好在路面中線上?

（2）記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值．

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【題目】足球比賽中，一隊在本方罰球區內犯規，會被判罰點球，點球是進攻方非常有效的得分手段.研究機構對某位足球隊員的1000次點球訓練進行了統計分析，以幫助球員提高點球的命中率.如圖，將球門框內的區域分成9個區域（區域代碼為1—9，球門框外的區域記做區域0），統計球員射點球時射中10個區域次數和進球次數（即使射中球門框內，也可能被守門員撲出），得到如下的兩個頻率分布條形圖：

（其中射中率，得分率）

（1）根據上述頻率分布條形圖，求射中球門框內時，各區域進球數的平均數（結果保留兩位小數）和中位數；

（2）以該隊員這1000次點球練習的進球頻率作為他在比賽中射點球時進球的概率，設他在三次射點球時進球數為，求的分布列和期望.

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【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證:平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

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【題目】2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如下表：

購票人數

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）

A.20B.30C.35D.40

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【題目】某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統計數據如表1所示：

表1：

1

2

3

4

5

6

7

6

11

21

34

66

101

196

根據以上數據，繪制了散點圖.

（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，與（均為大于零的常數）哪一個適宜作為掃碼支付的人次關于活動推出天數的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）.

（2）根據（1）的判斷結果及表1中的數據，建立關于的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.

（3）推廣期結束后，為更好的服務乘客，車隊隨機調查了100人次的乘車支付方式，得到如下結果：

表2

支付方式

現金

乘車卡

掃碼

人次

10

60

30

已知該線路公交車票價2元，使用現金支付的乘客無優惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優惠，掃碼支付的乘客隨機優惠，根據調査結果發現：使用掃碼支付的乘客中有5名乘客享受7折優惠，有10名乘客享受8折優惠，有15名乘客享受9折優惠.預計該車隊每輛車每個月有1萬人次乘車，根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費標準，試估計該車隊一輛車一年的總收入.

參考數據：

62.14

1.54

2535

50.12

3.47

其中.

參考公式：

對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某連鎖超市旗艦店在元旦當天推出一個購物滿百元抽獎活動，凡是一次性購物滿百元者可以從抽獎箱中一次性任意摸出2個小球（抽獎箱內共有5個小球，每個小球大小形狀完全相同，這5個小球上分別標有1，2，3，4，5 這5個數字）.

（1）列出摸出的2個小球的所有可能的結果.

（2）已知該超市活動規定：摸出的2個小球都是偶數為一等獎；摸出的2個小球都是奇數為二等獎.請分別求獲得一等獎的概率與獲得二等獎的概率.

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