Question

【題目】已知函數，，為自然對數的底數．

（1）當時，判斷零點個數并求出零點；

（2）若函數存在兩個不同的極值點，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）只有一個零點，零點為0．（2）

【解析】

（1）對函數求導，令，對求導，顯然，可知的單調性，特殊點，可知的單調性且，即可判定零點個數和零點；

（2）函數存在兩個不同的極值點，，等價于方程有兩個根，利用分類討論思想，由（1）知，不合題意；當時，討論的單調性，其中分界點和特殊點，通過構建函數比較與大小可知，由零點的存在性定理可知，滿足，得此類情況下由兩個根；當時，，無極值點；綜上可得答案.

（1）由題知：，令，，

當，，所以在上單調遞減，

因為，所以在上單調遞增，在單調遞減，

所以，故只有一個零點，零點為0．

（2）函數存在兩個不同的極值點，，等價于方程有兩個根

由（1）知：不合題意，

當時，因為，，單調遞增且，，單調遞減；

又因為且，所以；

又因為，因為函數，，，所以在上單調遞減

所以，及，所以存在，滿足，

所以，；，，，；

此時存在兩個極值點，0，符合題意．

當時，因為，；，；

所以；所以，在上單調遞減，

所以無極值點，不合題意；

綜上可得：．