Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若恒成立，求實數的值；

（Ⅱ）存在，且，，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）由不等式恒成立，即恒成立，令，分類討論求得函數的單調性和最值，即可求解；

（Ⅱ）設，得到，轉化為證明，進而轉化為證，令，利用函數，單調性與最值，即可作出證明.

（Ⅰ）由題意，不等式恒成立，即恒成立，

令，則

①當時，，則函數單調遞增，

又由，所以，，不符合題意，舍去.

②當時，函數在單調遞減，單調遞增，

所以

令，則，

則函數在單調遞增，在單調遞減，所以，

所以，在取等號，即.

（Ⅱ）由函數，則，

可得函數在遞減；在遞增，且

由，可得，

設，則，，

則，即 (*)

要證成立

只需證：，即證，

由(*)可知：即證

令，即證：

令，則，所以函數在上單調遞增，

所以，即，

所以，所以.