Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）．

（1）求的解析式及單調遞減區間；

（2）若存在，使函數成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），減區間為和；（2）.

【解析】

試題分析：（1）令解出，得出的解析式，令解出的單調遞減區間；（2）由（1）得，分離常數，存在使函數成立，使即可，對進行求導，利用導數判斷函數的單調性得到其最小值.

試題解析：（1）函數的定義域為，，

又由題意有：，所以，故．

此時，，由，解得或，

所以函數的單調遞減區間為和．

（2）因為，

由已知，若存在使函數成立，

則只需滿足當時，即可．

又，

則，

若，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，

，

∴，又∵，∴．

若，則在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上的最小值是，

又∵，而，所以一定滿足條件，

綜上所述，的取值范圍是．