Question

【題目】已知函數（）在處取得極值，其中，，為常數．

（I）試確定，的值；

（II）討論函數的單調區間；

（III）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I），；（II）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（III）.

【解析】

試題函數的導函數為，（I）函數在處的極值，即，解方程組即可求得；（II）將代入中，并令，便可求得單調區間；（III）由前面所求的函數的單調區間，從而求得函數的最小值這樣便能將不等式恒成立轉化為，解不等式即可求得的取值范圍.

試題解析：（I）由題意知，因此，從而．

又對求導得．

由題意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

當時，，此時為減函數；

當時，，此時為增函數．

因此的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也

是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，從而，解得或．

所以的取值范圍為．