Question

【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．直線l的參數方程是 （t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ= sin（ ）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于M、N兩點，求M、N兩點間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：將曲線C的極坐標方程化為ρ= sin（ ）=cosθ+sinθ

兩邊都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ

因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2

代入上式，得方求曲線C的直角坐標方程為：x2+y2﹣x﹣y=0

（2）解：直線l的參數方程是 （t為參數），消去參數t得普通方程：4x﹣3y+1=0，將圓C的極坐標方程化為普通方程為：x2+y2﹣x﹣y=0，

所以（ ）為圓心，半徑等于

所以，圓心C到直線l的距離d=

所以直線l被圓C截得的弦長為：|MN|=2 = ．

即M、N兩點間的距離為

【解析】（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C的極坐標方程：ρ=2 sin（θ+ ）化成直角坐標方程：x2+y2﹣x﹣y=0，問題得以解決；（2）先將直線l的參數方程化成普通方程：4x﹣3y+1=0，由（1）得曲線C是以（ ）為圓心，半徑等于 的圓，結合點到直線的距離公式及圓的幾何性質，可求得M、N兩點間的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線的參數方程的相關知識，掌握經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數）．