Question

【題目】如圖，已知DP⊥y軸，點D為垂足，點M在線段DP的延長線上，且滿足|DP|=|PM|，當點P在圓x2+y2=3上運動時
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）直線l：x=my+3（m≠0）交曲線C于A、B兩點，設點B關于x軸的對稱點為B1（點B1與點A不重合），且直線B1A與x軸交于點E． ①證明：點E是定點；
②△EAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），則P（ x，y），代入x2+y2=3，可得 x2+y2=3，即
（2）①證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線與橢圓C方程聯立，

化簡并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由題設知B1（x2，﹣y2），∴直線AB1的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得x= =4，

∴點E（4，0）…（7分）

②△EAB的面積S= |PF||y1﹣y2|=2 =2 ≤1

當且僅當 ，即m= 時等號成立，

∴△PMN的面積存在最大值，最大值為1

【解析】（1）利用代入法，即可求點M的軌跡C的方程；（2）①由題意，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），可得直線AB1的方程，令y=0，可得點E的坐標為（4，0）． ②利用△EAB的面積為S= |PF||y1﹣y2|=2 ，化簡，利用基本不等式的性質即可得出．